Cours

Partie 1 : Les Fondamentaux

1.1. C'est quoi ?

Une fonction de plusieurs variables est une fonction dont la sortie (le résultat) dépend de plusieurs entrées (les variables).

Analogie : La recette d'un gâteau ($G$) dépend de la quantité de farine ($F$) et de sucre ($S$).

$G(F, S) = \text{recette qui utilise } F \text{ et } S$

1.2. Comment ça se représente ?

Pour une fonction à deux variables $f(x, y)$, le graphe est une surface en 3D (un peu comme une montagne sur une carte).

Les Courbes de Niveau : Ce sont les points $(x, y)$ où la fonction a une valeur constante $C$.

Analogie : Les lignes sur une carte topographique qui relient tous les points à la même altitude.
Les Courbes Coordonnées : Ce sont les coupes de la surface de la fonction. On fixe une variable et on fait varier l'autre.

Analogie : Couper la montagne avec un couteau, soit verticalement dans le sens de la longueur, soit dans le sens de la largeur.

Partie 2 : L'Outil Central : La Différentielle Totale

2.1. Définition Simplifiée

La différentielle totale ($df$) nous donne une approximation de la variation totale d'une fonction quand toutes ses variables changent un peu.

2.2. La Formule Magique

Pour une fonction $f(x, y)$, la formule est :

$$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$$

$\frac{\partial f}{\partial x}$ : La dérivée partielle par rapport à $x$. On dérive par rapport à $x$ et on considère $y$ comme une simple constante.
$\frac{\partial f}{\partial y}$ : La dérivée partielle par rapport à $y$. On dérive par rapport à $y$ et on considère $x$ comme une simple constante.
$dx$ et $dy$ : Les petits changements dans les valeurs de $x$ et $y$.

Partie 3 : Exercices et Corrigés Détaillés

Exercice 1 : Calcul de la différentielle totale

Question : Calcule la différentielle totale de la fonction $f(x, y) = 5x^3 y^2$.

Corrigé détaillé 1 :

Étape 1 : On identifie la formule à utiliser.

$$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$$

Étape 2 : On calcule la dérivée partielle par rapport à $x$.

On considère $y^2$ comme une constante. La fonction est $f(x, y) = 5x^3 \times (\text{constante})$.

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 15x^2 y^2$$

Étape 3 : On calcule la dérivée partielle par rapport à $y$.

On considère $5x^3$ comme une constante. La fonction est $f(x, y) = (\text{constante}) \times y^2$.

$$\frac{\partial f}{\partial y} = (5x^3)(2y) = 10x^3 y$$

Étape 4 : On rassemble les résultats.

$$df = 15x^2 y^2 dx + 10x^3 y dy$$

Exercice 2 : Utilisation de la différentielle totale

Question : La force $F$ entre deux corps est donnée par $F(q_1, q_2) = k q_1 q_2$. Estime la variation de $F$ si $q_1$ augmente de $dq_1$ et $q_2$ de $dq_2$.

Corrigé détaillé 2 :

Étape 1 : On calcule la différentielle totale de la force $F$.

$\frac{\partial F}{\partial q_1} = k q_2$
$\frac{\partial F}{\partial q_2} = k q_1$

$$dF = \frac{\partial F}{\partial q_1} dq_1 + \frac{\partial F}{\partial q_2} dq_2$$

Étape 2 : On remplace les dérivées partielles.

$$dF = (k q_2) dq_1 + (k q_1) dq_2$$

Interprétation :

La variation de la force est la somme des variations dues à chaque charge.

Exercice 3 : Lignes de niveau

Question : Pour la fonction $f(x, y) = 2x + 3y$, trouve et identifie les lignes de niveau pour $f(x, y) = 6$.

Corrigé détaillé 3 :

Étape 1 : On pose la fonction égale à la constante.

$$2x + 3y = 6$$

Étape 2 : On arrange l'équation pour la reconnaître.

$$y = -\frac{2}{3}x + 2$$

Étape 3 : On identifie la courbe.

L'équation est celle d'une droite. C'est une droite de pente $-\frac{2}{3}$ et d'ordonnée à l'origine $2$.